Principe de Jacobi - Math'φsics

Principe de Jacobi

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Lemme
Lemme (pricipe de Jacobi) :
Si le mineur \(\delta_i\) est non nul pour \(i=1,\dots,n\), alors l'indice d'inertie \(p\) de \(Q\) est égal au nombre de changements de signes de \(\delta_i\)
(Mineur, Indices d'inertie)
Principe de Jacobi :
\(Q\) est une forme quadratique de dimension \(n\)

les mineurs \(\delta_i\) de la forme polaire \(\sigma\) de \(Q\) sont non nuls \(\forall i\in\{1,\dots,n\}\)

$$\Huge\iff$$

l'indice d'inertie \(p\) de \(Q\) est égal au nombre de changements de signes de \((\delta_i)_{i\in\{1,\dots,n\} }\)
Montrer que si le mineur \(\delta_i\) est non nul pour \(i=1,\dots,n\), alors l'indice d'inertie \(p\) de \(Q\) est égal au nombre de changements de signes de \(\delta_i\)
(principe de Jacobi)

Mineurs non nuls \(\to\) appliquer le théorème de Gram-Schmidt
Puisque \(\delta_i\ne0\) pour \(i=1,\dots,n\), par le théorème de Gram-Schmidt, il existe une base orthogonale $$\{v_1,\dots,v_p,v_{p+1},\dots,v_{p+s},v_n\}$$ de plus, $$Q(v_i)=\frac{\delta_i}{\delta_{i-1}}$$

Condition pour avoir \(v_i\) négatif \(\to\) conclusion

Donc \(Q(v_i)\lt 0\) si et seulement si \(\delta_i\) et \(\delta_{i-1}\) sont de signes opposés, ce qui démontre le lemme

(Algorithme de Gram-Schmidt)
Rétroliens :
- Critère de Sylvester